Biến đổi song tuyến tính

Biến đổi song tuyến tính có thể được sử dụng để chuyển đổi các bộ lọc thời gian liên tục (thể hiện trong miền Laplace) thành các bộ lọc thời gian rời rạc (thể hiện trong miền Z), và ngược lại. Ta sử dụng phép thay thế sau:

để chuyển đổi hàm  H ( s ) {\displaystyle H(s)}  trong miền Laplace thành hàm  H ( z ) {\displaystyle H(z)}  trong miền Z (biến đổi Tustin), hoặc

từ miền Z đến miền Laplace. Thông qua biến đổi song tuyến tính, mặt phẳng phức s (của biến đổi Laplace) được ánh xạ đến mặt phẳng phức z (của biến đổi z). Trong khi ánh xạ này là (nhất thiết) phi tuyến, nó rất hữu ích trong việc ánh xạ toàn bộ trục jΩ của mặt phẳng s vào vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng z. Như vậy, biến đổi Fourier (là biến đổi Laplace tương ứng trên trục jΩ) trở thành biến đổi Fourier thời gian rời rạc. Điều này giả định rằng biến đổi Fourier có tồn tại; tức là, trục jΩ nằm trong khu vực sự hội tụ của biến đổi Laplace.

Biến đổi sao

Cho một biến đổi Z một mặt, X(z), của một hàm lấy mẫu theo thời gian, biến đổi sao tương ứng tạo ra một biến đổi Laplace và khôi phục lại việc phụ thuộc vào tham số lấy mẫu, T:

Biến đổi Laplace nghịc đảo này là một định nghĩa toán học được biết đến như là một hàm xung lấy mẫu.